Selamat Datang

Senin, 03 November 2014

MATEMATIKA

Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Materi : Gradien dan Persamaan Garis Lurus
Kelas : VIII SMP

1. Gradien

- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.
- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)
- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :
by = -ax – c
y = -a/bx – c/b
m(gradient) = -a/b

contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0
4y = -2×-5
y = -2/4 x – 5/4
 maka m = -2/4 = -1/2
cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien :
a) Gradien bernilai positif
Bila m (+)  contoh : 6x – 2 y – 9 = 0
m = – (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative
Bila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0
m = – (6/3) = -2 (negative)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat
Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x
contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :
m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)
sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1)
contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

Hubungan 2 garis lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :
1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l
contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6
m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus
garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2


2. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :

y – y1 = m (x – x1)


Contoh 1 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.
jawab :

Titik A(-3,4), berarti x­1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :

y – y1 = m ( x – x1 )
y – 4 = -2 {x – (-3)}
y – 4 = -2 (x + 3 )
y – 4 = -2 x – 6
y = -2x – 6 + 4
y = -2x – 2

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)
jawab :

Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)

P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5
Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3

Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah
m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x­1 = 6 , y1 = 2

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 2 = -1 (x – 6)
y – 2 = -x + 6
y = -x + 6 + 2
y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),
yaitu y – y1 = m ( x – x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y – y1 = m ( x – x1 )
y – y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x – x1)
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan :

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)
jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).

A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4

B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)
(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y – 4) = 4(x – 3)
2y – 8 = 4x – 12
2y – 4x = 8 – 12
2y – 4x = -4
y – 2x = -2

>> Hubungan 2 garis lurus

1) Persamaan garis yang saling sejajar

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5

jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)
maka :
y – y1 = m (x-x1)
y – 3 = 2 (x-2)
y = 2×-4+3
y = 2x -1

2) Persamaan garis yang tegak lurus

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5

jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :
y – y1 = m (x-x1)
y – 3 = -1/2 (x-2)
y = -1/2 x + 1 + 3
y = -1/2 x + 4
kali 2
2y = -x + 4
2y + x – 4 = 0

3) Persamaan garis yang berhimpit

garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing” merupakan kelipatan dari a, b, c..

>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0

4) Persamaan garis yang berpotongan

dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

Sistim Persamaan Linear Dua Variable


1. Pengertian
Sistem persamaan linier dua variabel adalah persamaan- persamaan linier dua variabel yang saling berhubungan dengan variabel-vaiabel  yang sama.
Bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah :
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
catatan

Mempunyai satu pasang anggota himpunan penyelesaian
Kedua garis berpotongan

Tidak memiliki himpunan penyelesaian
Kedua garis saling berhimpit

Memiliki banyak pasangan himpunan penyelesaian
Kedua garis saling berhimpit
2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dua Variabel
a. Eliminasi
Eliminasi adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu unsur atau variabel sehingga variabelnya menjadi satu variabel.


b. Subtitusi
Subtitusi adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel dengan cara menganti salah satu variabel ke persamaan lain.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesain dari sistem persamaan linier dengan cara subtitusi.
3x + y = 6 dan 4x – 2y = 10
jawab
y = 6 – 3x
ganti nilai y dengan persamaan 6 -3x pada 4x – 2y = 10
4x – 2 (6 – 3x) = 10
4x – (12 – 6x) =10
10x = 22
x = 2,2
nilai x disubtitusikan ke y = 6 – 3x
y = 6 – 3. 2.2
y= 6 – 6,6
y = -0,4
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,2 , -0,4}
c. Grafik
Penyelesaian dengan metode grafik adalah dengan cara mencari titik potong koordinat sumbu x dan sumbu y.
Contoh
Tentukan persamaan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier x + y = 4 dan 3x + y = 6
Jawab
Gunakan pemisalan
Jika x = 0 maka y = 4, jika y = 0 maka x = 4
Jika x = 0 maka y = 6, jika y = 0 maka x =2
(x,y) = (0,4) dan (4,0)
(x,y) = (0,6) dan (2,0)

Jumat, 18 Januari 2013


I.    HUKUM BACAAN QALQALAH

1.       Arti Qalqalah dan Hurufnya.

Menurut bahasa qalqalah artinya gerak, getaran suara. Menurut istilah membunyikan dengan suara yang berlebih dari makhraj hurufnya.
Qalqalah berlaku bila huruf qalqalah itu mati, atau mati karena dihentikan. Jika kita baca bunyinya tidak terus menghilang melainkan masih terdengar juga perlahan-lahan.
Adapun huruf qalqalah ada 5 yaitu : qaf ( ق  ), tha’ ( ط  ), baa ( ب ),                         jim (  ج  ), dal (  د   ) dikumpulkan menjadi (  قَطْبُ جَدٍ  ).

  1. Macam-macam Qalqalah

Bacaan qalaqlah ada dua macam :
a.       Qalqalah Sughra (  قَلْقَلَة صُغْرَى )
Apabila huruf qalqalah itu mati (sukun) pada kata asalnya pada umumnya ada ditengah-tengah kata maka disebut qalqalah sughra artinya kecil. Cara membacanya dengan  pantulan tidak terlalu kuat.
Contoh  :   يَقْطَعُونَ      يَبْغُوْنَ     يَدْخُلُونَ                  

b.        Qalqalah kubra  (  قَلْقَلَةْْ كُبرٰي  )
Apabila ada huruf qalqalah yang mati bukan pada asalnya , dia mati karena dihentikan atau diwaqafkan dan berada pada akhir kata, maka disebut qalqalah kubra. Kubra artinya besar. Cara membacanya harus lebih mantap dengan memantulkan suara dengan pantulan yang kuat.
Contoh  : مِنْ مَّسَدٍ     ذَاتِ الْبُرُوْجٍ     وَاِسْحٰٰٰٰٰقَ   

II.   HUKUM BACAAN RA’

Cara membaca Ra ada dua macam :
a.                               Tafkhim  (  تَفْخِيْم   )         
Huruf ra  (  ر ) hukum bacaannya harus tafkhim atau dibaca tebal apabila berada pada salah satu empat keadaan yaitu :

1.       Apabila berada tanda baca fathah atau dhammah.
      Contoh  : رَبُّكُمْ     رُزِقْنا     اَرَاَيْتَ                
2.       Apabila berada dalam tanda baca sukun dan sebelumnya berharakat fathah atau dhammah.
       Contoh  :  مِن الْمُرْسلِيْنَ      وَاَرْجُلَكُمْ      تُرْجَعُونَ
3.       Apabila keadaan waqaf atau diwaqafkan sedang huruf sebelumnya berharakat fathah atau dhammah.
       Contoh  :   ُوَاْلاَبْتَرُ     اَلتَّكَا ثُرُ      وسُعُرٍ
       Atau dalam keadaan diwaqafkan ,sedang diantara huruf ra (  ر) dengan huruf yang  bertanda fathah atau dhammah terdapat huruf bertanda baca sukun.
      Contoh  :فِي لَيْلَةِ الْقَدْرِ     لَفِيْ خُسْرٍ    

4.       Apabila dalam keadaan waqaf atau diwaqafkan, sedangkan huruf sebelumnya alif atau wau yang bertanda baca sukun.
       Contoh  :   اَلْغَفُورُ     بِااَسْحَاِرِ      اَلْجَبَّارُ

b.                              Tarqiq  (    تَرْقِيْقٌ )

Huruf Ra  (   ر  ) hukum bacaannya harus tarqiq atau tipis, apabila berada pada salah satu dari empat keadaan, yaitu  :

1.       Apabila dalam keadaan tanda baca kasrah .
                  Contoh  :  تَجْري     كَريْمٌ      رِجَا لٌ
2.       Apabila dalam keadaan sukun sedang huruf sebelumnya kasrah, dan sesudahnya  bukan huruf  ISTI’LA (     اسْتعْلاء  )  yaitu  :       -  غ – ط-  ق- ظ – ض – ص – خ

Contoh  :
    فِرْعَونَ     مِرْيَة
3.       Apabila dalam keadaan waqaf atau diwaqafkan, sedangkan sebelumnya kasrah.
                  Contoh  :   لَقَادِرٌ    مِنْ نَّاصِر
4.       Apabila dalam keadaan diwaqafkan, sedang huruf sebelumnya ya ( ي ) sukun
                  Contoh   :    عَلي كُّلِّ شَيْءٍقدِيْرٌ     اِنَّ اﷲَ سَمِيعٌ بَصيٌْ